대수함수의 미분법

미분의 정의

함수 y=f(x)를 미분하여 얻은 함수.

접선의 기울기를 구하고자 할 때 자주 사용한다.

 

변화율

함수 f(x)에서 x의 값이 a에서 a+△x까지 변할 때,

y가 △y만큼 변화하면 이 변화량의 비△y/△x를

구간 [a,a+△]에서의 평균변화율이라 한다.

 

그리고 △x가 한없이 0에 가까워질 때

△y/△x가 확정인 극한값을 가지면

이것을 f(x)의 x=a에서의 변화율 또는 미분계수라고 한다.

 

 

식으로 표현하면 위와 같다.

 

 

-참고-

 

함수 y=f(x)을 미분하여 얻은 함수 f'(x)를

도함수라고 한다.

일반적으로 f(x)의 미계수 또는 미분계수라고도 한다.

 

 

미분법 공식

주로 사용하는 미분 공식 6가지다.

 

 

 

분수형태의 미분에 대한

도출 과정설명은 위와 같다.

 

 

 

 

n차 도함수

함수 y-f(x)가 미분가능할 때 도함수 f(x)를 1차도함수라 하며,

이 도함수가 또 미분가능하면 1차 도함수의 도함수

{f ' (x)}'를 구할 수 있다.이를 2차 도함수라 한다.

2차 도함수는 d/dx (dy/dx)로 정의되며

y'' , f''(x) 등으로 나타낸다.

 

2차 도함수도 다시 미분하는 경우 3차 도함수가 되며

지속적으로  미분이 가능한 만큼 n 차 도함수가 가능하다.

즉, y=f(x)가 x에 관하여 n번 미분가능하면 

n차 도함수가 된다.

 

 

예시 4가지는 위와 같다.

 

 

 

합성함수의 미분법 (연쇄법칙)

y가 u에 관한 미분가능함수(y=f(u))이며 ,

u는 x에 관한 미분가능함수(u=g(x))이면

y=f(u)=f(g(x))가 성립한다.

즉, dy/dx = dy/du 곱하기 du/dx

 

 

예시 2문항은 위와 같다.

 

 

음함수의 미분법

 

<정의>

 

함수는 하나의 변수로 묶이는 양함수와

ex) y=x3제곱 + x제곱 +5 등 

 

하나의 변수로 묶이지 않는 음함수가 있다.

ex)x제곱 + y제곱 = a제곱 등 (원 등)

 

이때 y같이 하나의 변수로 식을

다 묶을 수 없기 때문에 y를 x의 항등ㄹ로

나타내는 과정을 거치지 않고서 도함수를

구하는 방법을 음함수 미분법이라고 한다.

 

이 방법은 x는 기존의 방법대로 미분하고

y의 경우에는 통으로 y'을 만들어 버린다.

따라서  xy가 같이 있는 경우에는

x로 한번 미분, y로 한 번 미분 하여

총 2개의 식으로 표현된다.

 

 

실 계산 예시는 위와 같다.

 

 

 

이상으로

대수함수의 미분법 포스팅을 마칩니다.